">
Του ΝΙΚΟΥ ΚΑΜΠΑΝΗ, συγγραφέα-ερευνητή
Ο Παρμενίδης (540-475 π.Χ.) και οι μαθητές του είναι οι πρώτοι στην ιστορία της δυτικής φιλοσοφίας πού διακρίνουν με σαφήνεια το πώς φαίνεται ο κόσμος και πώς είναι στην πραγματικότητα. Διατείνονται ότι, το «όντως ον» είναι αναλλοίωτο. Το να σκέφτεται κανείς ότι τα πράγματα αλλάζουν πράγματι, θα ήταν σαν να σκεφτόταν ότι αυτό το οποίο δεν είναι, «είναι», γιατί γι’ αυτούς το «είναι» έχει τη σημασία του «είναι ό,τι είναι το να είναι». Αν, π.χ., μιλάνε για το τί είναι ξύλο, μιλάνε, στην πραγματικότητα, για το τί είναι το να είναι κάτι ξύλο, δηλαδή αναφέρονται στην ίδια τη φύση του ξύλου. Και το να είναι κάτι η ίδια η φύση του ξύλου, σημαίνει το να είναι αυτό το κάτι ξύλο με όλους τους τρόπους και πάντοτε.
Έτσι, αν το ξύλο άλλαζε με κάποιο τρόπο, δεν θα ήταν πλέον ξύλο, και, κατ’ αυτόν τον τρόπο, αυτό που είναι ξύλο θα αποδεικνυόταν ότι δεν είναι ξύλο. Αλλά αυτό είναι σαν να ισχυριζόμαστε ότι το «είναι» και το «μη είναι» είναι το ίδιο. Αυτό όμως είναι μια λογική αντίφαση. Έτσι, για τους Ελεάτες, τα πράγματα δεν αλλάζουν, επί πλέον δε, όταν παρατηρούμε κάποια αλλαγή είμαστε ακόμα στο βασίλειο της πλάνης και της εμφάνισης. Από την άλλη, οι Ελεάτες πίστευαν ότι το Όν δεν έχει μέρη, αφού ένα μέρος δεν είναι ό,τι είναι το να είναι κάτι Όλον. Έτσι, φαίνεται πως κατέληξαν στο δόγμα: «Ἓν τὸ πᾶν».
Ας εξετάσουμε όμως τώρα αναλυτικότερα τα παράδοξα αυτά του Ζήνωνα με τα οποία απεδείκνυε ότι η κίνηση είναι αδύνατη. Τα παράδοξα σκόπευαν στην υπεράσπιση του παρμενιδείου δόγματος ότι η πραγματικότητα (το όντως ον) είναι αναλλοίωτη. Στο πρώτο παράδοξο της διχοτομίας η κίνηση είναι αδύνατη· στο δεύτερο του Αχιλλέα και της χελώνας, ο Αχιλλέας αποτυγχάνει να φθάσει μια προπορευόμενη χελώνα. Στο τρίτο παράδοξο, του Βέλους, ένα κινούμενο βέλος είναι στην πραγματικότητα ακίνητο. Τέλος, στο τέταρτο, το παράδοξο του Σταδίου, ο Ζήνωνας δείχνει ότι ο χώρος και ο χρόνος δεν αποτελούνται από ελάχιστα, αδιαίρετα στοιχεία. Στα δύο πρώτα παράδοξα, ο Ζήνωνας χρησιμοποιεί τις ιδέες του απείρου και του συνεχούς. Έτσι, απ’ αυτή την άποψη, όπως γράφει ο Β. Russell, «τα επιχειρήματα του Ζήνωνα, σε κάποια τους μορφή, έχουν δώσει τις βάσεις για όλες σχεδόν τις θεωρίες του χώρου και του απείρου που έχουν προταθεί από την εποχή του, έως τις ημέρες μας».
Το Παράδοξο της διχοτομίας
Στη νεότερη φιλοσοφία, τόσο το παράδοξο της διχοτομίας όσο και αυτό του Αχιλλέα και της χελώνας, θεωρούνται ότι αποτελούν πρόκληση για την σύγχρονη μαθηματική φυσική και ιδιαίτερα, για το ότι αυτή θεωρεί τα χωρικά και χρονικά διαστήματα σαν να είναι μαθηματικά γραμμικά συνεχή σημείων. Στην μοντέρνα φυσική, ένα ευθύγραμμο χωρικό διάστημα είναι ένα γραμμικό μαθηματικό συνεχές σημείων, το κάθε ένα από τα οποία έχει μηδενικό μήκος και, ένα χρονικό διάστημα θεωρείται ότι είναι ένα γραμμικό μαθηματικό συνεχές στιγμών, η κάθε μία από τις όποιες έχει διάρκεια μηδέν. Τα βασικά χαρακτηριστικά του συνεχούς είναι, πρώτον, η ιδιότητα της πυκνότητας, δηλαδή δεχόμαστε ότι μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων του συνεχούς υπάρχει μια πυκνή απειρία άλλων σημείων, δεύτερον δεχόμαστε ότι για κάθε σημείο του συνεχούς δεν υπάρχει επόμενο σημείο και τρίτον, ιδίως, όταν αναφερόμαστε σε χρονικό διάστημα, δεχόμαστε ότι κάθε στιγμή αυτού του διαστήματος είναι δυνάμει ο χρόνος ενός φυσικού συμβάντος.
Η ιδιότητα της πυκνότητας, που αποδίδεται σε ένα διάστημα, μας επιτρέπει να πούμε ότι μια ακολουθία υποδιαστημάτων φθίνοντος μεγέθους, τείνει στο μηδέν. Από την άλλη, στην περίπτωση που δεχόμαστε ότι υπάρχουν ελάχιστα και αδιαίρετα στοιχεία του χώρου και του χρόνου (κβάντα του χώρου και του χρόνου), η διαδικασία των υποδιαιρέσεων ενός μεγέθους σύντομα φθάνει σε ένα τέλος που έχει μέγεθος ελάχιστο και αδιαίρετο στοιχείο του χώρου και του χρόνου. Το παράδοξο της διχοτομίας εκφωνείται κατά δύο εκδοχές, τις οποίες και θα περιγράψουμε.
Κατά την πρώτη, εάν ένα ευθύγραμμο τμήμα είναι απείρως διαιρετό τότε η κίνηση είναι αδύνατη, γιατί για να διανύσει ένας δρομέας ένα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα, πρέπει πρώτα να πέραση από το μέσο του, αλλά πριν το κάνει αυτό, πρέπει πρώτα να περάσει από το μέσο του μέσου, και για να το κάνει αυτό πρέπει πρώτα να περάσει από το μέσο του μέσου του μέσου, κ.ο.κ., επ’ άπειρον. Από αυτό συνεπάγεται ότι η κίνηση δεν αρχίζει ποτέ. Η εκδοχή αυτή του παραδόξου μας φέρνει αντιμέτωπους με μία παλινδρόμηση επικαλυπτόμενων υποδιαστημάτων φθίνοντος μεγέθους. Η ακολουθία αυτών των υποδιαστημάτων έχει τελευταίο μέλος, αλλά δεν έχει πρώτο δηλαδή, είναι μία απέραντη ακολουθία. Έτσι, το πρόβλημα που τίθεται εδώ είναι, πως μπορούμε να φθάσουμε στο σημείο του προορισμού μας μέσω της απέραντης ακολουθίας των υποδιαστημάτων του χώρου και του χρόνου.
Κατά την δεύτερη εκδοχή του παραδόξου της διχοτομίας, αν ο δρομέας πρόκειται να διανύσει το μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα, πρέπει πρώτα να φθάσει το μέσο του, μετά θα πρέπει να φθάσει το μέσο του υπολοίπου τμήματος, και μετά το μέσον του υπολοίπου, κ.ο.κ, επ’ άπειρον. Δηλαδή ο δρομέας, για να διανύσει το μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα, πρέπει, μεταξύ άλλων, να διανύσει διαδοχικά μια πρόοδο μη-επικαλυπτόμενων χωρικών υποδιαστημάτων. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι ο δρομέας δεν θα φθάσει ποτέ το σημείο του προορισμού του. Η δεύτερη μορφή του παραδόξου μας φέρνει αντιμέτωπους με μία πρόοδο μη-επικαλυπτόμενων υποδιαστημάτων φθίνοντος μεγέθους. Αυτή η πρόοδος έχει ένα πρώτο αλλά όχι και τελευταίο μέλος, δηλαδή είναι μία απέραντη ακολουθία. Το πρόβλημα που τίθεται εδώ είναι πώς μπορούμε να φθάσουμε το σημείο του προορισμού μας μέσω των απέραντων ακολουθιών των χωρικών και χρονικών υποδιαστημάτων. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, θεωρούμε ότι είναι, ουσιαστικά, το ίδιο πρόβλημα που τίθεται από την πρώτη και την δεύτερη εκδοχή του παραδόξου.
Στην πρώτη εκδοχή του παραδόξου της διχοτομίας, ο Ζήνωνας ισχυρίζεται ότι αν ο δρομέας είχε φθάσει το σημείο του προορισμού του, θα είχε απαιτηθεί άπειρος παρελθόντας χρόνος, ενώ, στην δεύτερη εκδοχή του παραδόξου, ισχυρίζεται ότι ο δρομέας, αν πρέπει να διανύσει την πρόοδο των υποδιαστημάτων στον απαιτούμενο χρόνο, θα απαιτηθεί άπειρος μελλοντικός χρόνος.
Με βάση αυτά, ο Whitrow φθάνει στο συμπέρασμα, ότι ο δρομέας ποτέ δεν φθάνει στον προορισμό του, επειδή ταυτίζει την διάνυση των υποδιαστημάτων της απέραντης ακολουθίας από τον δρομέα, με την προσπάθεια του δρομέα να αριθμήσει ένα προς ένα όλα τα υποδιαστήματα που ανήκουν σ’ αυτή την ακολουθία, διαδοχικά. Και, για τον Whitrow, φαίνεται ότι ενώ αυτά τα χωρικά υποδιαστήματα είναι φθίνοντος μεγέθους, τα υποδιαστήματα του χρόνου πού απαιτείται για την ένα προς ένα θεώρηση των χωρικών υποδιαστημάτων δεν είναι φθίνοντος μεγέθους διότι υπάρχει ένα κάτω φράγμα στην διάρκεια των νοητικών μας πράξεων (δηλαδή υπάρχουν ανθρώπινα minima perceptibilia). Αυτό, μαζί με το γεγονός ότι η ακολουθία των νοητικών μας πράξεων είναι απέραντη (αφού η ακολουθία των χωρικών υποδιαστημάτων είναι απέραντη) οδήγησαν τον Whitrow στο συμπέρασμα ότι ο ολικός χρόνος που απαιτείται για την επιτυχή ένα προς ένα θεώρηση των χωρικών υποδιαστημάτων, πρέπει να είναι άπειρος. Πρέπει, δε, ο χρόνος αυτός να είναι άπειρος αφού είναι το άθροισμα των άπειρων όρων μιας απέραντης ακολουθίας θετικών διαρκειών, που δεν τείνει στο μηδέν. Έτσι ο Whitrow συμπεραίνει ότι η πυκνότητα που αποδίδεται στον φυσικό χρόνο οδηγεί σε λογικές αντινομίες.
Ο Αχιλλέας και η Χελώνα
Κατά το παράδοξο αυτό, αν ο Αχιλλέας εκκινήσει ταυτόχρονα με μια χελώνα η οποία ευρίσκεται ένα βήμα πιο μπροστά απ’ αυτόν, τότε, αν και ξεκινούν την ίδια χρονική στιγμή, ο Αχιλλέας δεν φθάνει ποτέ την χελώνα. Και αυτό γιατί, πρέπει πρώτα να φθάσει το μέρος από όπου ξεκίνησε η χελώνα. Κατά τον χρόνο αυτό, όμως, η χελώνα θα έχει πάει σε ένα άλλο σημείο, πιο μπροστά. Ο Αχιλλέας τότε θα πρέπει να πάει σ’ αυτό το σημείο, αλλά πάλι η χελώνα θα έχει πάει πιο μπροστά. Έτσι, ο Αχιλλέας θα πρέπει πάντα να πηγαίνει πρώτα στο σημείο από το οποίο η χελώνα μόλις έφυγε, και κατ’ αυτόν τον τρόπο, πάντα η χελώνα θα προπορεύεται. Άρα, οι προσπάθειες του Αχιλλέα πάντα θα αποτυγχάνουν ταπεινωτικά.
Ο Russell για το παράδοξο αυτό χρησιμοποιεί ως κύριο σημείο του επιχειρήματός του την ένα προς ένα αντιστοίχηση των θέσεων του Αχιλλέα και της χελώνας στην ίδια στιγμή της κινήσεώς τους. Σε κάθε στιγμή της κινήσεώς τους, ο Αχιλλέας είναι κάπου και η χελώνα είναι επίσης κάπου· δεν είναι, δε, δυνατόν για κανένα τους να βρίσκεται ποτέ δύο φορές στο ίδιο μέρος κατά την διάρκεια του αγώνα δρόμου. Έτσι, ο αριθμός των σημείων που πηγαίνει ο Αχιλλέας, είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων που πηγαίνει η χελώνα, διότι ο καθένας είναι σ’ ένα μέρος την μια στιγμή, και σε άλλο μέρος σε μια άλλη. Αν ο Αχιλλέας πρόκειται να φθάσει την χελώνα, τότε ο αριθμός των σημείων από όπου πέρασε ο Αχιλλέας θα ήταν μεγαλύτερος από τον αριθμό των μερών που πέρασε η χελώνα. Αυτό δε, πρέπει πράγματι να συμβαίνει αφού ο Αχιλλέας έχει να διανύσει μεγαλύτερη απόσταση από την χελώνα. Έτσι, κατά τον Russell, ο Ζήνωνας μας φέρνει αντιμέτωπους με το εξής παράδοξο: Ο αριθμός των μερών από τα οποία έχει περάσει ο Αχιλλέας είναι ίσος με τον αριθμό των μερών από όπου έχει περάσει η χελώνα, και την ίδια στιγμή (στην περίπτωση που ο Αχιλλέας φθάνει τη χελώνα) ο αριθμός των μερών που πέρασε ο Αχιλλέας είναι μεγαλύτερος από αυτόν των μερών που πέρασε η χελώνα. Αυτό όμως είναι μια αντίφαση. Εν τούτοις, τα δυο σύνολα των σημείων έχουν άπειρα μέλη, και όπως ο Cantor έχει δείξει, αυτό είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των απειροσυνόλων, ότι δηλαδή τα μέρη τους, αν δεν είναι ίσα, είναι ισοδύναμα με το «όλον».
Το παράδοξο του βέλους
Το παράδοξο του βέλους μπορεί να διατυπωθεί ως ακολούθως: Ένα κινούμενο βέλος κινείται, είτε στον τόπο που δεν βρίσκεται, είτε στον τόπο που βρίσκεται. Αλλά, δεν θα μπορούσε να κινηθεί ούτε στον τόπο που δεν βρίσκεται, ούτε στον τόπο πού βρίσκεται, γιατί αυτός ο τόπος είναι ίσος με τον εαυτό του. Και κάθε τι, είναι πάντα σε ηρεμία, για κάθε στιγμή (μηδενικής διάρκειας), στην οποία καταλαμβάνει ένα τόπο ίσο με τον εαυτό του. Επομένως αφού αυτό αληθεύει για κάθε στιγμή, συνεπάγεται ότι το βέλος δεν κινείται ποτέ.
Έχει προταθεί, ότι το παράδοξο αυτό βασίζεται στην υπόθεση ότι υπάρχουν διαδοχικές χρονικές στιγμές. Με βάση την υπόθεση αυτή, η περίοδος κατά την διάρκεια της οποίας ένα βέλος κινείται, συνίσταται από έναν αριθμό διαδοχικών χρονικών στιγμών. Σε κάθε μια από τις στιγμές αυτές, το βέλος είναι εκεί που είναι, αν και την επόμενη στιγμή είναι κάπου αλλού. Πότε όμως κινήθηκε; Ο Russell λέγει, «...δεν κινείται ποτέ, αλλά κατά ένα θαυματουργό τρόπο η αλλαγή πρέπει να γίνει μεταξύ των χρονικών στιγμών, δηλαδή, σε κανένα χρόνο». Έτσι, για τον Russell, ο πυρήνας του παραδόξου είναι ότι η αλλαγή της θέσεως πρέπει να συμβαίνει έξω από τον χρόνο (δηλαδή σε κανένα χρόνο). Το συμπέρασμα αυτό στηρίζεται στην υπόθεση ότι η χρονική τάξη είναι διακριτή. Έτσι, σύμφωνα με τον Russell, η λύση βρίσκεται στη θεωρία του συνεχούς χρόνου. Αν ένα χρονικό διάστημα είναι ένα μαθηματικό γραμμικό συνεχές σημείων (στιγμών), τότε για κάθε στιγμή του συνεχούς δεν υπάρχει επόμενη στιγμή.
Στην περίπτωση ενός πυκνού χρόνου, το παράδοξο δεν εξαφανίζεται αλλά γίνεται, μάλλον, πιο καλυμμένο. Γιατί, αν μετά την στιγμή π.χ. t1, το βέλος κατέχει ένα τόπο στον οποίο δεν κινείται, και σε μία άλλη στιγμή t2 κατέχει ένα άλλο τόπο στον οποίο δεν κινείται, τότε για κάθε μία και για όλες τις άπειρες (λόγω της πυκνότητας) ενδιάμεσες στιγμές tν, το βέλος καταλαμβάνει αντίστοιχους άπειρους τόπους, όπου, πάλι, είναι ακίνητο. Έτσι, για όλο το συνεχές χρονικό διάστημα στο οποίο ένα βέλος κινείται, είναι, στην πραγματικότητα, ακίνητο.
Κατά την άποψη του Vlastos (καθηγητού της Φιλοσοφίας), το λάθος του Ζήνωνα βρίσκεται στην τέταρτη προκείμενη του παραδόξου, η οποία λέει ότι, «κάθε τι πάντα είναι σε κατάσταση ηρεμίας, για κάθε στιγμή (μηδενικής διάρκειας), στην οποία καταλαμβάνει ένα τόπο ίσο με τον εαυτό του». Κατά τον Vlastos δεν έχει νόημα να λέμε ότι κάτι ηρεμεί σε μία χρονική στιγμή μηδενικής διάρκειας. Όταν λέμε ότι ένα σώμα είναι σε κατάσταση ηρεμίας εννοούμε ότι η ταχύτητα του U είναι μηδέν και ότι το σώμα αυτό δεν διανύει κανένα διάστημα S. Αν πούμε ότι το σώμα αυτό ηρεμεί σε μία στιγμή t (μηδενικής διάρκειας), τότε θα έχουμε U = S/t = 0/0, το οποίο είναι απροσδιόριστο. Ένα σώμα ηρεμεί κατά την διάρκεια μιας χρονικής περιόδου, οσοδήποτε μικρή κι αν είναι αυτή. Οι ιδέες της κινήσεως και της ηρεμίας εφαρμόζονται σε ό,τι συμβαίνει όχι σε μία στιγμή, αλλά, σε ένα χρονικό διάστημα, όπως ακριβώς η καμπυλότητα είναι μια ιδιότητα γραμμών και επιφανειών, και όχι των σημείων από τα οποία αποτελείται η γραμμή (ή η επιφάνεια). Ως εκ τούτου, για να ορίσουμε την κίνηση χρειαζόμαστε ένα χρονικό διάστημα. Αυτό δε που μπορεί να λεχθεί, περαιτέρω, για την κίνηση είναι ότι η κίνηση συνίσταται μόνο από το γεγονός ότι τα σώματα είναι μερικές φορές σε ένα μέρος και μερικές φορές σ’ ένα άλλο.
Το παράδοξο του Σταδίου
Σύμφωνα με την κριτική του Αριστοτέλους, επί του παραδόξου του σταδίου του Ζήνωνα, ίσα σώματα τα οποία κινούνται με ίσες ταχύτητες και αντίθετες κατευθύνσεις εντός ενός σταδίου, τα μεν από το τέλος, τα δε από το μέσον, παράλληλα προς άλλα ακίνητα σώματα διανύουν απόσταση μισού σταδίου και ενός σταδίου στον ίδιο χρόνο.
